При строительстве дома можно использовать один из двух типов фундамента

Формулировка задачи: При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо A тонн природного камня и B мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо C тонн щебня и D мешков цемента. Тонна камня стоит E рублей, щебень стоит F рублей за тонну, а мешок цемента стоит G рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 12 (Выбор варианта из двух возможных).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1 600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Решение:

Вычислим стоимость каждого варианта и выберем наиболее дешевый из них.

Если у дома будет каменный фундамент (9 тонн природного камня и 9 мешков цемента), стоимость материала составит:

9 ⋅ 1600 + 9 ⋅ 230 = 14400 + 2070 = 16470 рублей

Если у дома будет бетонный фундамент (7 тонн щебня и 50 мешков цемента), стоимость материала составит:

7 ⋅ 780 + 50 ⋅ 230 = 5460 + 11500 = 16960 рублей

Таким образом, выгоднее будет использовать каменный фундамент, так как при покупке материалов для него будет потрачено меньше денег.

Ответ: 16470

При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 13 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1450 рублей, щебень стоит 700 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 220 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Решение.

Рассмотрим два варианта.

Стоимость каменного фундамента складывается из стоимости камня 9  1450 = 13 050 руб., а также стоимости цемента 13  220 = 2860 руб. Всего 2860 + 13 050 = 15 910 руб.

Стоимость бетонного фундамента складывается из стоимости цемента 50  220 = 11 000 руб., а также стоимости щебня 7  700 = 4900 руб. Всего 4 900 + 11 000 = 15 900 руб.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 15 900 рублей.

Ответ: 15 900.

Составление краткой записи и плана решения задачи

Для удобства составим краткую запись задачи:

  • природный камень — 9 т;
  • цемент (для каменного фундамента) — 8 м.;
  • щебень — 7 т;
  • цемент (для бетонного фундамента) — 50 м.;
  • стоимость природного камня — 1550 руб/т;
  • стоимость цемента — 230 руб/м;
  • стоимость щебня — 610 руб/т.

Для того, чтобы ответить на вопрос нам необходимо найти стоимость каждого компонента для изготовления каменного и бетонного фундамента, затем найти стоимость каждого фундамента по отдельности (бетонного и каменного), а затем сравнить полученные результаты. Фундамент, который будет дешевле, будет отвечать на требование задачи и являться ответом задачи.

Решение задачи. Нахождение более дешевого фундамента

1 550 * 9 = 13 950 (руб) заплатили за природный камень для каменного фундамента;

230 * 8 = 1 840 (руб) заплатили за цемент для каменного фундамента;

13 950 + 1 840 = 15 790 (руб) заплатили за каменный фундамент;

610 * 7 = 4 270 (руб) заплатили за щебень для бетонного фундамента;

230 * 50 = 11 500 (руб) заплатили за цемент для бетонного фундамента;

4 270 + 11 500 = 15 770 (руб) заплатили за бетонный фундамент.

Сравним стоимость каменного фундамента и бетонного фундамента:

15 790 > 15 770.

Каменный фундамент дороже бетонного, значит бетонный фундамент дешевле.

Ответ: 15 770 рублей заплатили за бетонный фундамент.

Задание

При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 7 тонн природного камня и 7 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн щебня и 36 мешков цемента. Тонна камня стоит 1550 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 240 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Решение

Каменный фундамент обойдется в $$ text{Ц}_{text{каменного}}=7cdot1550+7cdot240=12530 text{рублей} $$ Бетонный фундамент обойдется в $$ text{Ц}_{text{бетонного}}=5cdot780+36cdot240=12540 text{рублей} $$ Сравнивая эти 2 величины, заключаем, что дешевле будет использовать каменный фундамент $$ text{Ц}_{text{наименьшая}}=text{Ц}_{text{каменного}}=12530 text{рублей} $$

Ответ : 12530.

Аналогичные задачки

  1. http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offsetStr=500&posMask=8